零的历史-第9章

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　　　　在计算板上零是这样的：存在着一列，但是这一列上没有一个计算筹码。这时零作为一个位置占有者的符号，本身不代表任何大小的数值，但是它的存在却给其它的数字赋了数值。这些同样的性质是变量也有的，未知的数字：在不同的方程式中就可以代表不同的数值。在不同的地方背景的改变就会使筹码的值改变，它的周围数字个数的多少就会使他隐含的值表现出来。因此有人在布瑞斯（Bris）的典礼上为以利亚（Elijah；旧约全书中记载的最伟大的一位先知，他寻求废除偶像崇拜并重建公平。据圣经所述，他并没有死而是乘着燃火的马车上了天——译者注）准备了一个空位。当他再来的时候，他可能以一个乞丐的身份来，也可能来宣布世界末日。就像挤牛奶女工哼唱的歌曲中提到的克利须那（Krishna，黑天毗湿奴的第八个和主要的化身，经常被描绘成一个吹笛的英俊年轻人——译者注），他可能根本就不会来。歌曲中这样倡道：“我对他说，来吧，来吧，来吧，来吧，来吧，来吧。他忘了来了。”　　　　
　　　　“　”的含义和马哈韦日的一些同义词的逻辑很和谐，它表示的重点落在了表达一个不确定的概念上，它可以帮助我们理解卜哈斯卡瑞写在一本关于数学书的开头的一些话，他说：“我崇敬那些看不见的原始物质……因为它是可见物质的唯一组成元素（这个元素的概念不同于现代意义上的元素的概念——译者注）……所知道的物质质量……是建立在未知物质质量之上的；并且……将要解决的问题似乎不能被任何人理解，没有应用未知物质的质量，这一点也不影响我们的理解……”　　　　
　　　　难道我们的那些圆点到了印度？零和变量不是真的诞生在这里，是　的孪生子孙或者是印度人对“空的”奇特理解方式？也许最终施彭格勒（Spengler）是对的，只有印度文化才适合产生这些符号。　　　　
　　　　但是像一个沙漏，漏斗再次打开时圆点漏到了古希腊。用字母表示数字的问题是你需要使用一些特殊的标记把表示数字的字母和单词区别开来。你在第二章看到的希腊人画在一组数字上面的线条经常被分割成短的线段，甚至最后变成了一个小圆圈，然后画在各个字母上面：因此，　或　表示600。一些人使用一个或多个原点写在字母前面和后面来代替：用　来表示600；　或者　来表示318。想把一个数字增大1　000倍，他们使用的标准方法就是在字母的左下方书写一个小的标记：例如，　　表示2，但是　　就表示2　000（偶尔，这些符号也写在字母的上边：　和　分别都表示1　000）。他们的嗜好是不给这些标记定界限。分数有时在表示的时候是把标记放在字母的右上角，因此，　表示3，但是　（或者偶尔是　，甚至是　）表示　　。阿基米德书写　的方法是：　（　　表示分子10；o表示70，　表示1，因此，　表示71，那个右上角的小标记表明这个数字在分母上）。你会对此感到十分惊讶，阿基米德竟然使用这种方法进行他所涉及到的所有计算。　　　　
　　　　公元二世纪和三世纪的亚历山大时期有三个伟大的数学家，他们是希罗（Heron），派帕斯（Pappus）和黛尔芬特斯（Diophantus），他们的工作被证明对印度的文化有很大的影响，他们使用的符号甚至也很接近我们现在用的符号。黛尔芬特斯是用符号　放在他的米瑞雅德和单位之间来分开它们。但是他和派帕斯时常仅仅放一个点在那里来代替　。举一个例子，　就表示20　074。事实上，这个点使它左边的字母表示的数字扩大到了10　000倍，这就像是零的一个堂兄弟。希罗是放两个点在表示数字的字母上边来使它的数值扩大到10000倍：　表示1，　就表示10　000。在另外的一个老希腊符号系统中，这一系列的符号被保留了下来，每一个新增加的点都使原来的数值扩大到原来的100倍。希伯来人的习惯是放两个点在一个表示数字的字母上面来是他的值扩大到原来的1　000倍，通过写在字母右上边的小重音符号来区别表示数字的字母和单词，，他们的传统是来自希腊人呢，还是希腊人的传统来自希伯来人？如果回到非常久远的以前，希腊人使用原点表达数值的这种方法在随后的数字表达系统中也出现了。我们已经讨论过印度的数学家使用过同样的符号来表达零和未知数，因为印度数学家把每一个零都看作是一个未填满的容器，可以任意的再填充其他的东西。如果我想把这个讨论的结果也用到希腊人身上，我就不仅仅应该证明他们使用点来表示零，而且还要证明他们也使用点来表示未知数；进一步还要证明他们为什么使用同样符号表示未知数和零，同时还要证明这样做的原因是什么。事实上，未知数——我们该如何说呢？——我们是该说它是被发现的还是该说他是被发明的呢？回到遥远的巴比伦，大约在伯拉图时代，当时有一个叫做塞麦瑞鞑斯（Thymaridas）的人，他是毕达哥拉斯学派的人，他知道了如何解决含有几个未知数的方程组的问题。现在提出这个问题似乎有点迷惑，这个解题方法被称为他的杰作。谁能说明白为什么直到亚历山大时代我们都没有再听到过这个未知数的概念（这是毕达哥拉斯学派保密的一个例子？）。这个概念又在何时被我们广泛的接受了呢？　　　　
　　　　黛尔芬特斯称它为“数字”，而且定义它作为一个可以表示“一个不确定单位”的数字。他用什么符号来表示它呢？偶尔使用　（在第二章中提到在拜占庭帝国晚期的一些资料中用这个符号来表示零）。但是经常使用　，时常是　，偶尔仅仅使用　º；　！不仅仅是黛尔芬特斯使用这个符号，和他同时代的希腊人也是用这个符号。这个小圆圈（就像第二章中表示度的小圆圈）在印度昙花一现，然后就使用到了这些亚历山大时期的著作中？当然，黛尔芬特斯的存在是显而易见的：通过把一个未知的数看作１这种解决问题的巧妙方法（你在巴卡沙里手稿中看到的方法）早在黛尔芬特斯的问题中就出现过。


第二部分　灰尘第13节　表示未知数（2）

　　　　那么意味深长的空白呢？你会在亚里士多德的著作中发现一些感兴趣的东西，但是空白在他的著作中有两点特殊的含义。他说：“空白是一个碰巧没有物体存在的地方”，这是一个非常普通的概念——也可以说是一个被暂时清除了内容的地方。听起来好像亚历山大的老师已经很好的预言了印度教中出现的“空的　”。亚里士多德的两点特殊含义中的第一点（这一点告诉你的关于亚里士多德的东西比关于　的多）是他好像已经掌握了它的定义，这是非常好的；虽然它不是希腊人中的一个“普通的概念”，但是这个概念使用在了亚里士多德的《物理》中，因此这个概念在随后的几个世纪中一直使用。虽然第二点的特殊含义形成了一个关于空白的戈尔地（Gordian，按神谕；　能解开此结者即可为亚细亚国王；　后来此结被亚历山大大帝解开，暗指难于解决的问题——译者注）难结，但是，对于亚里士多德来说，他定义了它的概念以后，他就马上证明它又是不存在的！空白是一个物体可以存在的地方；但是对于永恒的物体（永恒的元素组成的物体是永恒的）来说，在可能存在和确定存在之间没有任何不同——因此，所有的地方都是被物体占据着的。除此以外，他使用空白概念的主要目的是向人们证明在解释运动装置时他完全不需要这个概念。事实上，这个概念的存在对他的理论来说是一个障碍：因此，他放弃了这个概念。定义一个被清除掉事物的东西可以产生一个新的定义吗？　　　　
　　　　很幸运，我们没有必要回答这个问题，因为人们对亚里士多德的《物理》产生的反响相对于柏拉图的《泰米亚斯》　（Timaeus，传说是记载柏拉图对话的书——译者注。）来说是很小的，这种情形直到进入12世纪才有所改观。柏拉图的最后的对话是写于公元前350年的某个地方的，这个对话一直是他的读者想弄清楚的东西。对话的含义是什么，对话本身又是如何表达它的含义的？在他写下这段对话后的一千年内，人们一直认为，如果这个对话所传递的信息被理解，人们就可以进入一个神秘的世界。因此一直把这个对话作为一个可以开启进入神秘世界的钥匙。　　　　
　　　　《泰米亚斯》——也许是毕达哥拉斯学派的一个天文学家和数学家的著作，也许纯粹就是柏拉图的发明——提供了一个详细的宇宙起源的情景，并且找到了使自己可以重生的方法，这个对话已经被更深的理解了。先前，他说过存在和生成的概念，现在他认识到有三分之一的因素与宇宙的创造有关：　　　　
　　　　……这个辩论使我们试图去弄清楚并描绘那个模糊的形式，我们必须假想它具有何种性质呢？它又扮演什么角色呢？它不是任何其他的东西，它是一个可以放置物体的容器——按这种状态解释，它是所有新产生的物体的护士。　　　　
　　　　他发现解释这个“容器”的性质是困难的——就像任何人第一次去理解表示“变量”或者“未知”的符号一样困难。我想在《泰米亚斯》中的柏拉图就试图去解释这个“容器”的性质。他说容器具有接受所有物体的本性：　　　　
　　　　……它总是接受所有的物体，他从来不以任何方式固定地呈现进入它的物体的任何性质：它的本性是可以作为任何一个事物的母体的，它被进入它的物体改变并表现出多样性，它在不同的时间表现出不同的性质……　　　　
　　　　为了更好的表达这个符号，他把这个符号与母亲相比，他继续写道：　　　　
　　　　因此，作为一个可以接受各种各样物体的符号，它必须没有任何性质；就像制造膏药的基质，制造者总是寻找那些尽可能没有气味的液体作为初始原料，这种原料还易于吸收香味……如果我们称母亲或者容器具有不显眼的和平凡无特征的本性，这绝对不是自欺欺人。　　　　
　　　　接下来，在没有任何征兆的情况下，他突然把“容器”和“空间”等同起来！　　　　
　　　　……空间是永恒存在的，它为所有事物的形成提供了一个位置，但是它本身却难以理解……根据我的计算，最好让这些成为神话故事：存在、空间和生成是三个不同的事物，它们一直存在，甚至在天空形成以前都存在。　　　　
　　　　《泰米亚斯》中告诉我们的东西是难以理解的。这段文字的书写时间和丢失的上下文对于理解它也不会有任何帮助，也许柏拉图是故意把这个问题说得含糊不清，目的是让我们自己按我们自己的思维方式行事——或者是为了避免我们自己不努力去理解它的起源。它里面星座的形状依然如旧，它看起来非常像我们已经从亚里士多德学派和印度那里看到的一样。柏拉图表达空间（chora，　）使用的的词含有容器的意思，随时可以被充满物体，就像亚里士多德的“空白（void）”和印度的“空的（　）”。接下来，柏拉图用于填充它的是——数字！更精确的说是各种各样的元素，这些元素被认为是来自我们在第二章中已经看到的图形数字。　　　　
　　　　我们很容易想到在代数学中的未知数——毕竟未知数是和代数学紧密联系在一起的：带有数字和未知数的等式；寻求满足等式的未知数的值。但是柏拉图的直觉是几何方法，我认为我们所看到的是代数学上完美的几何方法类比，他是通过有形的数字来填充空的空间。为了和这个“容器”的模糊性质相一致，他说我们不应该称呼这些进入它的元素一个固定的名字，而是仅仅称呼他们“某某事物（　）”。也许卜日马古普塔用来表达未知数的名字“　（多达……，达到……那种程度）”或多或少也有一些这个意思。柏拉图为了强调他的数学特性，在《泰米亚斯》中提了两次，“这是我如何计算它的”，“这是我如何把它加和在一起的”，这两个表达方法在翻译成希腊短语的时候都是使用单词“psephos”（　；没有合适的汉语意思相对应，但不影响你的理解——译者注），用作计算筹码的石头，第二个意思与你在第20页看到的被嘲笑的计算技巧的象征逻辑有关。　　　　
　　　　我们自己总结一下，在古希腊哲学家的的思想传遍印度以前，他们关注的就是找到一个合适的符号来同时表达零和未知数，因此，看到同时表达两个意思混合在一起的符号并不使我们感到吃惊。　　　　
　　　　有证据表明，在希腊人的符号系统中，人们更多的使用圆圈而不是点，而在印度人的符号系统中，他们常常使用点而不是圆圈。这些符号可的起源可能是独立的，零所代表的含义不是移植过来的，而是在每个文化本身形成的，这是正确的吗？零和未知数为什么可以连在一起出现呢，这可能是最后的猜测——在你的思想中保持这样一个观念，猜测和学识像是生活在同一个房间的两个兄弟，他们性质上的分歧使他们相互的远离。最终它的开始是用吉尔伯特的尖体（apices）。你可能还记得，出于某种考虑他有一个表示零的筹码，在这个表示零的尖体上有一个特别的符号是：　。在中世纪同样的符号看起来很像希腊的第八个字母西塔（theta）——θ，因此（你可以这么想）被称为“theca”。1291年达契亚（Dacia，古代一地区和罗马一省份——译者注）的皮楚斯（Petrus）这么解释他的来源，它可能是来自烙在罪犯的面夹或者前额上的烙印——因为你可能需要一个横着的铁丝来把你的烙铁和把手连在一起；我们可以这么说，失败者是社会的零：我们现在依然称呼失败者为零，法国人也这么称呼。　　　　
　　　　在巴思（Bath，英格兰西南部的一座市镇）有一个博学的人名字叫艾德拉德（Adelard），早在12世纪早期，他离开英格兰到劳恩（Laon）做了一名家庭教师；在法国女王的面前演奏西塔拉琴（cithara，一种类似竖琴的古代乐器）；历尽艰辛来到西班牙，在托莱多（Toledo，西班牙中部临塔哥斯河的一座城市）努力学习；他学会了一些阿拉伯语，并伪装成一个伊斯兰教徒来到科尔多瓦（Cordoba）；像很多他后来的英国人那样，他出发去了东方。我们看到他不再在萨勒诺（Salerno，意大利南部一城市）外和一个老哲学家谈论奇妙的磁性；他扬帆航行经过希腊；努力的到达了西里西亚（Cilicia，托鲁斯山脉的南部、地中海沿岸、小亚细亚东南的古老地区）和叙利亚。在那里，他观察到光的传播比声音传播的快。同样是在那里，当地震来临，把黎凡特（Levant，地中海东部沿岸诸国家和岛屿，包括叙利亚；　黎巴嫩等在内的自希腊至埃及的地区）内的许多城市夷为平地时，他正在安提俄克（Antioch，古叙利亚首都；现土尔其南部城市）附近一座被震坏了的桥上。　　　　
　　　　当他最终回到家乡的时候，他的精神被文艺复兴前的精神感动。（他说，“如果你想从我这里听到什么事情，请平等的给我你想听的理由。”）他随身带回来了珍贵的手稿，东方的真正财富：一篇关于用混合颜料来炼金的论文（虽然，它也包含了一个制造咖啡的方法），一些关于如何在水下建造地基和如何建造拱形结构的著作。以与他的侄子对话的方式，他写了一本关于猎鹰训练术的书。在他晚年的时候，他写了关于一个占星家的绿色斗篷和绿宝石戒指的书，并计算了斯蒂芬国王（King　Stephen）星象。